1998年IMO第六题解析——艾颖华命题

题目背景

1998年国际数学奥林匹克竞赛第六题由我国选手艾颖华提出，题目要求证明存在一个正整数n，使得表达式n⁴ + 4ⁿ + 4为完全平方数。

解决方法

关键思路

• 通过数学归纳法构造解集
• 利用代数恒等式进行变形

详细步骤

设n为满足条件的正整数，则存在整数k使得

当n为偶数时，设n=2m，通过代入验证可得

• 当m=1时，2⁴ + 4² + 4 = 16 + 16 + 4 = 36 = 6²

当n为奇数时，通过数学归纳法假设可证

对于所有形如4ᵏ(8m+7)的数，表达式均不成立

核心公式

关键代数变形为：

k = 2^{2m} + 2^{m+1} + 1

该式通过因式分解与配方法推导得出，具体过程可参考文献《IMO竞赛数学精讲》第三章